14 Mayıs 2013 Salı

öklit postulatları

Tanımsız terimler: “Ne engel olabilirki bir terimi tanımlamaya” diyorsanız, önce tanımın tanımı kavramaklazım derim. Tanım (matematikte) en basit haliyleşöyle açıklanabilir: Okunduğunda herkesin kafasındaaynı şeyi canlandırabileceğitürden evrensel bir ifade. iş-te Öklid geometrisindeki tanımsız terimler ve belirsizaçıklamaları:nokta: hiç parçası olmayan nesnedoğru: genişliği olmayan uzunlukdüzlem: uzunluğu ve genişliği olanyüzeyişte gerçek anlamda tanım olmayanbu cümleleri daha fazla genişletmeyeçalışınca bir kısır döngüye giriveriyoruz. Bu nedenle onların dokunulmazlı-ğı var.
Şimdi de bu terimlerle yasaları-mızı belirleyelim:
Postulatlar: Bunlara tanımlanmayanilk ilkeler de diyebiliriz. Sezgisel yada keyfi olarak konabilir ancak üçşartımız var hiçbir cümle diğeriniima etmesin (bağımsızlık) , eksiksizve tutarlı olsunlar; yanikendi içinde bir çelişki yaratmasınlar. işte Öklid’in postulatları:
1. iki noktadan bir doğrugeçirilebilir.
2. Sonlu bir doğru, istenildi-ği kadar uzatılabilir.
3. Çember, merkez ve üzerindekibir nokta ile tarif edilebilir.
4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5. Bir doğruya, dışındaki bir noktadanyalnızca bir paralel doğru çizilebilir.
Tabii bunların yanı sıra, Öklid’in genelkabulleri de vardı. Bunlar, bize gayetaçık görünen, ispatlanmaya gerekduyulmayan cümlelerdir.
Örneğin, aynışeye eşit olan şeyler birbirine de eşittirya da bir bütün, herhangi bir parçasındanbüyüktür gibi. . . Uzun lafın kısası, bu kadar bilgiden hepimizin bildiği geometriüretilmiş (tabi tanımlar da var) . Hatta en ekonomik olsun, postulat sayısı az olsun diye tutturan pek çok matematikçinin 5. postulat yüzünden uykularıda kaçmış. Herşey iyiydi hoştu; ama bu 5. postulat (paralellik postulatı) nedense diğerlerinden çıkı-yormuş gibi geliyordu ço-ğuna. Bu da bağımsızlık ilkesineaykırı bir durumdu!Tamam, kendisi bir teoremolabilirdi; ama bir aksiyomdeğildi sanki. . . Bu uğurdaçaba harcayan matematikçiler, diğer 4 postulatı birleş-tirip 5. yi çıkarmaya çalıştılar, pek çokyeni teorem ürettiler; geometri genişledi;ama istedikleri sonuca varamadılar. Fakat henüz savaş bitmemişti. Çünkü, bu işi çözmenin bir yolu daha vardı: Paralellikpostulatının tersini alıp, diğerpostulatlarla arasında çelişkiyi yakalamayaçalışmak! Bir doğruya dışındaki bir noktadanhiç paralel çizilemez ya da 1’den fazla (yani sonsuz tane) paralel çizilebilir. . .

FUTBOLDA MATEMATİK

Futbolcular Teknik Direktörler ne kadar Matematik biliyor.

Tarihe geçen inanılmaz bir İbrahimoviç golü

Futbol bireysel güç, yetenek ve taktik oyunu olarak bilinir. Futbol günümüzde güç yetenek ve taktik ile bir anlam ifade etmiyor zevk vermiyor.

Günümüz de Futbolda ve bir çok takım sporların da, güçe güç ile, yeteneğe yetenek ile ve taktiğe taktikle karşılık verilebiliyor. Futbolu güzelleştirmek ve zevkli bir aktivite haline getirmek için Matematiksel zeka gerekli. " Oyun zekası " söylemi ile benzerlikler taşıyan fakat onu kapsayan bir zekadan bahsediyorum.

30 yıl önce Fizik Öğretmenizimin Matematik hakkında söyledikleri Matematiğin sadece 4 işlemden ibaret olmadığını anlatmıştı.

"Matematik insan güçlü muhakeme yeteneği kazandırır". Matematik bilen biri her iş kolunda farklılık yaratabilir, sahip olduğu muhakeme yeteneği ile farkındalık ve farklılık yaratarak hedeflenenn sonuçlara çok farklı yollardan ulaşabilir.

Matematik bir sorun çözme aracıdır. Sorunlara farklı açılardan farklı bakış açıları ile yaklaşmamızı sağlar. Bir sorunun cevabı bir satır olabilirken aynı cevabı sayfalarca işlemler sonrasında da bulabilirsiniz. Burada farkı yaratan sonuca giden en kısa ve ve en verimli yoldur.

Futbol kurallar ve eşit şartlar altında sonuç oyunudur. Hakem dışında eşitlik ilkesini zedeleyecek başka bir unsur saha içerisinde yoktur. Futbol oynayana ve seyredene keyif vermeli. Güç, yetenek ve taktik ile yapılanlar karşısında sürekli aynı sonuç alınıyorsa bu durum da bir sıkıntı var demektir.

Matematik hayatımızın her anında yanımız da bizimle beraber. Ülkemizdeki futbolcuların büyük çoğunluğun da matematiksel zekanın olmadığını veya yetersiz söyleyebilir miyiz. Bence söyleyebiliriz ve ukalık da etmemiş oluruz. Matemetik muhakeme yeteneğinin yanında pratik ve hızlı karar verebilme ve uygulama sonuca en kısa yoldan ve etkin gidebilme tercihlerde doğru seçim yapabilme yetisi de kazandırır.

İyi bir futbol izleyicisiyimdir, taraftarı olduğum takımın maçlarından hariç rakip takımların maçlarını, 2.lig ve yurt dışı maçlarıda seyrederim. Özellikle İngiltere ve İspanya Ligi maçlarının yenilikler ile dolu olduğunu, son yıllarda da İtalya futbolunun da aynı kategoriye girdiğini söyleyebilirim. Tek düzelik ve kısır bir döngü yok. Sürekli bir değişim ve farlılık yaratan teknk adamlar ve futbolcuları görebiliyorsunuz.

Türk futbolunda bu farklılığı yaratacak teknik direktörlerimiz olduğunu göremiyorum, ya çok sabırlılar ya da oyuna müdahale edip oyunun akışını değiştirecek bir çözümleri yok. Aynı durum futbolcular içinde geçerli, oyunun gidişatını değiştirecek, beklemeyenleri olumlu şekilde yapacak futbolcular ülkemizde çok az. Aramız da olmayan Metin Oktay, Lefter gibi futbolculara yakın tarihimizden Rıdvan, Tanju, ve Sergen'i ekleyebiliriz. Hagi ve Alex düşünce yapılarındaki farklıkları ile sahada fark yaratan futbolcular olarak ülkemizde iz bırakan futbolculardı.

Dünya futbolunda aklınıza ilk gelen isimler başında Messi ve İbrahimoviç olabilir mi? Her iki futbolcu da güç, fiziksel yapı ve yetenek olarak çok tezatlar. Fakat ikiside Müthiş bir oyun zekasına sahip ve sürekli farklılıklar yaratarak rakiplerini ve bizleri şaşırtıyorlar. Messi oyun içinde topla yaptığı hareketler verdiği mükemmel paslar ve attığı gol sonrasın da maçı anlatan spikerlere " Messi Messi Messi bu adam neyin nesi, Uzaylı Messi" dedirtebiliyorsa, İbrahimoviçin mantığa sığmayan hareketleri ve gol vuruşlarının sonrası spikerlerin"inanılmaz bir gol" demelerinin ardında yatan gerçek matematiksel zekanın sonucudur.

Teknik adamların ve futbolcuların oynadıkları maçları tekrar seyrederek tıpkı bir satranç gibi hamle tercihlerinin sonrasında neler olabileceklerini irdelemeleri gerektiğini düşünüyorum. Bunu günümüz teknolojilerini yaparak irdeleyen futbol takımı var mı bilmiyorum. Sonuç olarak futbolun ana malzemesi olan top, saha ve insan.

Üç bilinenli bir denklem.

MAT HAKKINDA İİLGİNÇ SÖZLER

İLGİNÇ SÖZLER

Matematik üzerine söylenmiş en güzel matematik ile ilgili sözler

“Dünyadaki en mâsum uğraş matematiktir” G. H. HARDY

“evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır.” GALİLEO

Bilim deyince, onda hakikat diye öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şekliyle matematikte bulunur. O halde bilim o disiplindir ki; önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmayan disiplinler bilimin dışında kalacaklardır. M.Kemal Atatürk

“İnsanlar sayılar gibidir, o insanın değeri ise o sayının içinde bulunduğu sayı ile ölçülür.” NEWTON

Matematiğin hiçbir dalı yoktur ki, ne kadar soyut olursa olsun, bir gün gerçek dünyada uygulama alanı bulmasın. LOBACHEVSKY

Matematikte bir şeyleri asla anlamazsın, sadece onlara alışırsın. John von Neumann

Eksi çarpı eksi artı edecek, Böyle yazılacak, böyle bilinecek, Kimse “neden?” demeyecek.

Matematik matematikçiler için yazılır.Nicolaus Copernicus

Matematikçiler aşıklar gibidir. Onlardan birine en küçük bir ilkeyi verin, o ondan bir sonuç (consequence) çıkaracaktır, tabi bu sonucu kabul etmeniz gerekecektir, o da bu sonuçtan başka bir sonuç çıkaracaktır. Bernard le Bovier Fontenelle

Geometri zekayı aydınlatır ve aklı doğru yola sokar. Onun bütün kanıtları açık ve düzenlidir. Çok iyi düzenlendiğinden geometrik mantık yürütmeye hata girmesi neredeyse imkansızdır. Bu nedenle sürekli geometriye başvuran bir aklın hataya düşmesi çok nadirdir. Buna göre de geometri bilen kişi zeka kazanır. Eflatun’un kapısında aşağıdaki sözlerin yazılı olduğu nakledilir: “Geometrici olmayan evimize giremez.” Ibn Haldun

Matematikte büyük olmanın iki yolu vardır: İlki herkesten zeki olmak, ikincisi de herkesten aptal, fakat sebatlı olmak. Raoul Bott

Bir karenin kenarlarıyla köşegenlerinin rasyonel orantılı olmadığı gerçeğinden habersiz olan, insan sıfatına layık değildir. Plato

Matematikte bir şeyleri asla anlamazsın, sadece onlara alışırsın. John von Neumann

Matematik ne neden söz ettiğimizi, ne de söyledğimiz şeyin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir konudur. Bertrand Russell

Bir teoremin zerafeti onda görebildiğin fikirlerin sayısıyla doğru, o fikirleri görebilmek için harcadığın çabayla ters orantılıdır. George Polya

Matematikçinin desenleri ressam veya şairlerinki gibi güzel olmalı, fikirleri renkler veya kelimeler gibi birbirlerine ahenkle uymalıdır. … Dünyada çirkin matematik için asla daimi bir yer yoktur. G. H. Hardy

Matematik gerekli sonuçları çıkaran bir bilimdir. Benjamin Pierce

Transandantal sayıların gerçek veya kompleks sayılar alanındaki yeri böceklerin hayvanlar alemindeki yerine çok benzer. Herkes onların en kalabalık sınıf olduğunu bilir ancak çok az insan onların bir ya da ikisinden fazlasını ismen tanır. Donald R. Newman

Matematik en bariz olanı en az bariz olan yolla kanıtlama işidir. George Polya

Matematikteki en büyük ilerlemelerin bazıları daha sonra açıklanması zorunlu hale gelen küçük sembollerin icadıyla olmuştur; eksi işaretinden bütün negatif niceliklerin teorisi çıkmıştır. Aldous Huxley

Hilbert’in bir matematik öğrencisi derslere devam etmemeye başlamıştı. Ona delikanlının şair olmak için ayrıldığını söylediler. Hilbert’in şöyle dediği nakledilir: “Ben zaten onun bir matematikçi olmasına yetecek kadar hayal gücüne sahip olduğunu hiç düşünmemiştim.” George Polya

Yeterli matematik çalışıncaya ve sayısız olası istisnaları görüp kafası karışıncaya kadar herkes bir eğrinin ne olduğunu bilir. Felix Klein

“Başka herşey de oldugu gibi matemetiksel bir teori için de öyledir; güzellik algılanabilir fakat açıklanamaz.” Cayley, Arthur

“Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir.” Einstein, Albert

“Hayat sadece iki şey için güzel;matematiği keşfetme ve öğretme” Simeon Poisson

Sık sık “matematik, teoremleri isbatlamaktan ibarettir” sözünü işitiriz. Bir yazarın temel işi cümle yazmak degil midir? Rota, Gian-carlo

matematik ilginctir

ilginç bilgiler

Matematik İle İlgili İlginç Bilgiler

Matematik sözcüğünün , Antik Yunanca'daki "matesis" sözcüğünden geldiğini ve anlamının "ben bilirim" demek olduğunu biliyor musunuz?

Pisagor'un, aynı zamanda tarihte en çok bilmece üreten matematikçilerden biri olduğunu biliyor musunuz?

Şimdi de size çok bildik bir problem. Lütfen kendiniz çözmeye çalışın ve bir problem çözmenin keyfini yaşayın. Problemin çözümü haftaya bu sayfada yer alacak nasıl olsa! Siz kendinizi deneyin ve bu keyfi yaşayın.

Uzayda sonsuz sayıda odası olan bir otel hayal edin. Ve diyelim ki, sonsuz sayıda turist otele gelmiş olsun. Fakat tam herkes odalara yerleşmişken, birden ortaya geçikmiş bir turist çıkıyor.

Buyrun bakalım! Bütün odalar dolu. Şimdi ne yapacaksınız? adamı nereye yatıracaksınız?

Bu problemi Ece Temelkuran'nın "Matematik sevinç dolu bir şeydir. Çünkü "bilmek" korkuyu azaltır. Matematik, deli adamların çocuklara zorluk olsun diye uydurduğu bir şaçmalık değil, hayatın kendisidir; kendisindendir." diye başlayan makalesinden hagayretliler için alınmıştır.

Asal Sayılar rastgele değilmiymiş?

ABD'deki Boston Üniversitesinden araştırmacılar, asal sayıların dağılımının
bir düzene bağlı olabileceğini ortaya çıkarmışlar.Asal sayılar, yalnızca
bire ve kendilerine tam olarak bölünebilen sayılar. Bu sayılardan ilk
altısı, 2, 3, 5, 7, 11, 13. Bilinen en büyük sal sayıysa, dört milyon
basamaklı. Bugüne kadar kimse, asal sayıların herhangi bir kurala bağlı olup
olmadığını anlayamamış. Araştırmacılar, birbirini izleyen asal sayıların
arasında kaçar rakam olduğunu ve bunların sayılarının nasıl değiştiğini
incelemişler. İlk altı asal sayının (2, 3, 7, 11, 13) aralarındaki rakam
sayısı sırasıyla 1, 2, 2, 4 ve 2. Rakam sayılarının arasındaki farklarsa,
+1, 0, +2, -2 ve +2. Araştırmacılar, ardışık asal sayıların arasındaki rakam
sayısının farkının, bir ölçüde önceden tahmin edilebilir olduğunu görmüşler.
Bu farklar ard arda sıralandığında, pozitif bir sayının ardından çoğu kez
onun toplamaya göre tersi geliyor. Tıpkı yukarıdaki örnekte +2'den
sonra -22nin gelmesi gibi.

200 binden fazla bilgisayarın kullanıldığı 2 yıllık bir çalışma sonucunda, 6
milyon 320 bin 430 basamaklı en büyük asal sayı tespit edilmiş.
6 milyonun üzerinde basamağı olan en büyük Mersenne asal sayısını, 17 Kasım
2003 tarihinde Michael Shafer isimli Amerikalı bir üniversite öğrencisi
bulmuş. Sayının gerçekten bir Mersenne asıl sayısı olduğu doğrulanmış. Yeni
bulunan asal sayıyla Mersenne asallarının sayısı 40'a çıkmış.
En büyük asal sayı 2 üzeri 20.9960.11 - 1 olarak ifade ediliyor.

BİLİM DÜNYASINDAN
Bilimciler beynin özel bir bölümünün matematikle uğraştığını buldular. Diskalkuli'li ( hesap yapamayan) coçukların beyinleri araştırılırken bu sonuca ulaşıldı. Bulgular, daha iyi bir aritmetik eğitiminin yolunu açabilir.

Beynin o bölgesi aslında, matematikle ilgili değil. Ancak, hacimsel imgenin ilintili olduğu iç ön kıvrım, Albert Einstein'da alışılmadık derecede büyüktü.

matematik ilginçtir

................1x8+1=9
..............12x8+2=98
............123x8+3=987
.........1234x8+4 =9876
........12345x8+5=98765
......123456x8+6=987654
....1234567x8+7=9876543
..12345678x8+8=98765432
123456789x8+9=987654321

Matematikte niçin (-2) ile (-2) nin çarpımı (+4) tür? Haftanın beş günü işe
otobüs ile gidip geldiğinizi varsayalım. Her sefer bir milyonluk bir biletle
yapılıyor. On milyon tutarında on tane bilet aldınız. Hergün gidiş geliş
kullandıkça iki tanesi eksiliyor. Bunun eşitlikteki yeri (-2) dir. Siz bu
işi beş gün süresince yani 5 kez yaparsanız (-2)x(+5)= 10 olur. Diyelim ki
bayram tatilinin iki günü o haftanın Perşembe ve Cuma günlerine geldi ve
tatil. Bu kez yapmanız gerekeni yapmıyorsunuz. İki günlük 4 bileti
kullanmıyorsunuz. Bu hareket, yapmanız gerekene göre negatif yani ters yönde
bir harekettir. Hergün bilet almak yerine iki gün süresince hiç bilet
kullanmıyorsunuz.İki kere negatif hareketi "-2" bilet üzerinde yapınca o
hafta elinizde (-2)x(-2) =(+4) bilet kalıyor.

13 Mayıs 2013 Pazartesi

TÜREV

Birinci tanımı(h türev) [değiştir]

Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevin

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$ =

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

limiti olarak tanımlanır. Bu limit eğer var ise, yani bir gerçel sayı ise, f fonksiyonu anoktasında türevlenebilirdir denir. Limitin sonsuz olması veya var olmaması durumunda, f ye a noktasında türevlenemez denir. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir. Limiti alınan oran, yani $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ oranı, Newtonsal oran olarak adlandırılır.

Yukarıdaki grafikte h değeri sıfıra yaklaştıkça, d doğrusu da y=f(a) eğrisine (a,f(a)) noktasındaki teğete yaklaşır. Burada : $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ifadesinin de d doğrusunun eğimini verdiğine dikkat etmek gerekir.

$a$ noktasında türevlenebilen bir fonksiyon, $a$ civarında sürekli olmak zorundadır. Fakat bunun tersi doğru değildir. Başka bir ifadeyle, $a$ civarında sürekli olan fakat türevlenemeyen fonksiyon bulmak mümkündür. Örnek olarak, Weierstrass fonksiyonu gerçel sayılar kümesinin her noktasında sürekli olmasına karşın hiçbir noktasında türevlenebilir değildir.

Yukarıdaki limit a civarında doğrudur. Başka bir deyişle, h sayısı 0 civarında 0 a yaklaştıkça, a+h sayısı a civarında a ya yaklaşır. Bu sebepten dolayı, eğer uç noktalarda türev alınacaksa, limit sembolü soldan limit veya sağdan limit olarak yazılmalıdır. Analiz kitapları, genellikle, sürekli fonksiyonları kapalı aralıklarda türevlenebilir fonksiyonları ise açık aralıklarda tanımladıklarından, sol ve sağ limit tanımlamazlar.

İkinci tanımı(q türev) [değiştir]

Türevin birinci tanımını örnekleyerek bir ikinci tanım daha yapabiliriz.

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ifadesinin mantığında {h}sonsuz küçüğünü ekleme işlem

yapılmıştır,oysaki tanımı genelleştirebilmek mümkün;şöyleki sonsuz küçük artırımı yerine sonsuz küçük katının artırımıda yapılabilir.

Bir f(x) fonksiyonunu q türevi

$\left(\frac{d}{dx}\right)_q f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}$

sıklıkla $D_qf(x)$ şeklinde yazılır, q-türev Jackson türevi olarak bilinir.

$\lim_{h\rightarrow 1}\frac{f(a\,h)-f(a)}{a\,h-a}$

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ = $\lim_{h\rightarrow 1}\frac{f(a\,h)-f(a)}{a\,h-a}$

ayrıca;

$\frac{df(a)}{da}=f'(a)$ = $\lim_{h\rightarrow 1}\frac{f(a\,h)-f(a)}{a\,(h-1)}$ elde edilebilir.

Türev Alma [değiştir]

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için her a noktasındaki değeri f fonksiyonun a noktasındaki türevi olan fonksiyona f fonksiyonun türevi denir ve bu fonksiyon f' sembolüyle gösterilir. Ayrıca

$\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$

formülü f ın türevlenebildiği her $x$ de bu durumu ifade etmek için kullanılır. Burada f' bir fonksiyon olduğundan, f' ın tanım kümesi f ın türevlenebildiği noktaların kümesidir.

Fraksiyonel türev [değiştir]

fonksiyon $f(x)=x$ (mavi eğri) için yarı türev (mor eğri) ve birinci türev (kırmızı eğri).

$f(x)$ tek terimli olduğunu varsayalım

$f(x) = x^k\;.$

Burada kullanılan türev

$f'(x) = {d \over dx } f(x) = k x^{k-1}\;.$

tekrarlanarak şu sonuca ulaşılır:

${d^a \over dx^a } x^k = { k! \over (k - a) ! } x^{k-a}\;,$

faktöriyel yerine Gama fonksiyonu'nu alalım

${d^a \over dx^a } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - a + 1) } x^{k-a}\;.$

x'in yarı türevi [değiştir]

${ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } x = { \Gamma(1 + 1) \over \Gamma ( 1 - {1 \over 2} + 1 ) } x^{1-{1 \over 2}} = { \Gamma( 2 ) \over \Gamma ( { 3 \over 2 } ) } x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2}\; = \frac{2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt{\pi}}.$

Bu durumu tekrarlarsak

${ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma ( 1 + {1 \over 2} ) \over \Gamma ( {1 \over 2} - { 1 \over 2 } + 1 ) } x^{{1 \over 2} - {1 \over 2}} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma( { 3 \over 2 } ) \over \Gamma ( 1 ) } x^0 = { 1 \over \Gamma (1) } = 1\;,$

Gerçekten burada beklenen sonuç aynıdır.

$\left( \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \right) x = { d \over dx } x = 1 \,$

Burdaki türev alma işlemi sadece gerçel sayılarla sınırlı değildir örneğin, (1+i)inci türev , (1-i)inci türev iki türevlidir.Ancak negatif değerler için alınan a integrali verir.

Laplace transformu [değiştir]

laplace transformlarınıda alabiliriz Laplace transform. ifade

$\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s(\mathcal L\left\{f\right\})(s)$

$\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s(\mathcal L \left\{Jf\right\} )(s)=\frac1{s^2}(\mathcal L\left\{f\right\})(s)$

etc., bizim beklentimiz

$J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}(\mathcal L\{f\})(s)\right\}$ .

örneğin

$\begin{array}{lcr} J^\alpha\left(t^k\right) &= &\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\}\\ &= &\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)}t^{\alpha+k} \end{array}$

beklenti doğrudur. gerçekten, verilen convolusyon kök $\mathcal L\{f*g\}=(\mathcal L\{f\})(\mathcal L\{g\})$ (ve kısaca $p(x)=x^{\alpha-1}$ doğrulama için) bulunur

$\begin{array}{rcl} (J^\alpha f)(t) &= &\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\left(\mathcal L\{p\}\right)(\mathcal L\{f\})\right\}\\ &=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\ &=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\ &=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\ \end{array}$

Cauchy serisini verir. Laplace transformu bazı fonksiyonların kullanılabilmesi ile ilşkilidir.sıklıkla fraksiyonel diferansiyel denklemler çözümünde kullanılır

Kısmi Türev [değiştir]

Kısmi türev çok değişkenli bir işlevin, sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Tanım [değiştir]

$z:{{\mathbb{R}}^{n}}\times {{\mathbb{R}}^{n}}\to \mathbb{R}$

$z=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})$

biciminde tanimlanan n tane bagimsiz degsikene bagli surekli z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki $\Delta {{x}_{m}}$ degisimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

$\frac{\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}=\frac{f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}$

$\Delta {{x}_{m}}=h$

$\frac{\partial z}{\partial {{x}_{m}}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}$

ifadesine $z$ fonksiyonunun ${{x}_{m}}$ değişkenine göre kısmi türevi denir.

$\frac{\partial f}{\partial {{x}_{m}}}={{f}_{{{x}_{m}}}}={{D}_{{{x}_{m}}}}f=\frac{\partial z}{\partial {{x}_{m}}}={{z}_{{{x}_{m}}}}$

şeklinde gösterilir.

$z=f\left( x,y \right)$ ise;

${{f}_{x}}\left( x,y \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h,y \right)-f\left( x,y \right)}{h}$

${{f}_{y}}\left( x,y \right)=\underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x,y+k \right)-f\left( x,y \right)}{h}$

Örnek:

$\begin{align} & f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{3}}{{y}^{2}}-{{y}^{3}} \\ & {{f}_{x}}={{\left( {{x}^{3}} \right)}_{x}}+{{\left( {{x}^{2}}y \right)}_{x}}-{{\left( {{y}^{3}} \right)}_{x}} \\ & {{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0 \\ & {{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy \\ \end{align}$

Ayrıca, q Türev 'in tanımına uygun olarak Kısmi türev içinde Fraksiyonel Kısmi Türev tanımı yapılabilir.

Örnekler [değiştir]

Türevlenebilir Fonksiyonlar ve Türevleri [değiştir]

Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için $f(x)=x^n$ fonksiyonu,

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Bu eşitlik Binom Teoremi'nin bir sonucudur. (Bu formul yalnızca reel sayilarda kullanılır ! )

sin(x) ve cos(x) trigonometrik fonksiyonları,

$\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)$

$\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$

$e^x$ fonksiyonu,

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

Türevlenebilir Olmayan Fonksiyonlar [değiştir]

Mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında türevli değildir. Nedeni, 0'da türevi tanımlayan

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|0+h|-|0|}{h}$

limitinin bulunamamasıdır. Diğer her noktada türevlidir.

$\sqrt[3]{x}$ fonksiyonu da 0'da türevli olmayıp da başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0'da türevlenebilir olmayışının nedeni

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0+h}-\sqrt[3]{0}}{h}$

limitinin $\infty$ , yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, $\sqrt[3]{x}$ fonksiyonunun grafiği 0'da da kırılmasızdır.

Temel Teoremler [değiştir]

Çok karmaşık görünümlü fonksiyonların da türevlerini almamızı kolaylaştıracak teknikler (teoremler) mevcuttur.

(f ± g)'(a) = f'(a) ± g'(a),

(f × g)'(a) = f'(a) × g(a) + g'(a) × f(a) (Çarpım Kuralı olarak bilinir),

(f o g)'(a) = f'(g(a)) × g'(a) ( Bileşke fonksiyonun türevi, zincir kuralı olarak bilinir).

(f / g)'(a) = [f'(a) × g(a) - g'(a) × f(a)] / g²(a) (Fark Kuralı),

Daha fazla bilgi için Türev alma kuralları maddesine bakınız.

Genellemeler [değiştir]

Türev alma operasyonunu birden çok kez uygulamak mümkündür. Eğer f' , f fonksiyonunun türeviyse ve de f", f' fonksiyonunun türeviyse o zaman f" fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci türevi denir. Daha yüksek dereceden türevler de benzer şekilde tanımlanır.

Türevi alınan f fonksiyonunun reel değerli olması şart değildir. Mesela f Karmaşık Sayılar veya p-sel Sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyon olabileceği gibi aldığı değerleri de reel sayılar dışındaki uygun bir kümeden (mesela gene karmaşık sayılar kümesi olabilir) alıyor olabilir.

Tek değişkenli olmayan fonksiyonların da türevlerinden bahsetmek mümkündür, ancak önce yukardaki limitli tanımı ve teğet doğrusu argümanını bu duruma uyarlamak gereklidir. Bu konu Kısmi Türevmakalesinde bulunabilir.

Türevin uygulamaları [değiştir]

f fonksiyonunun a noktasında türevi, f'nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.

Hesabın temel teoremi'ne göre türev almakla integral almak, birbirlerinin tersi olan iki operasyondur.

Taylor açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların deşerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.

Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumuşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin diferansiyel denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.

Matematiğin diferansiyel geometri ve diferansiyel topoloji alanları öncelikle türevlenebilir fonksiyonlar aracılığıyla tarif edilebilen geometrik yapılarla ilgilenirler.